数学 : 乱数(ランダム)

確率

確率とは

偶然起こる現象の、現象全てに対する割合の事である

具体例) サイコロの5の目が出る確率

サイコロを6回投げた時に5の目が1回出たとする。

この時、サイコロの1の目が出る確率は $ \frac{1回出た}{6回投げた} = \frac{1}{6}

乱数

乱数とは

一意的ではない（つまりランダム）次に何が出るかわからない数字である。

一様乱数

一様乱数とは

すべての値の出現確率が等しい乱数のこと

具体例)サイコロ

サイコロを投げる時に出る目1,2,3,4,5,6の出現確率は等しい。サイコロを投げたときに出る目は一様乱数に従う

確率変数

確率変数とは

起こりうることがらに割り当てている値（ふつうは実数や整数）を取る変数

例)サイコロを投げたとき、$ \frac{1}{6}の確率で5の目が出る。

確率変数は 5

確率は$ \frac {1}{6}

期待値

確率変数の期待値は、確率変数がとる値とその値をとる確率の積を全て足し合わせたもの.。

確率変数の期待値は確率変数の平均値を表す

$ E(X) = \sum_{i=1}^N X_i \cdot p_i

$ p_i : 確率

$ X_i : 確率変数

$ E(X) : 期待値

一様乱数の期待値

一様乱数の場合、すべての確率が等しい( $ p_i = \frac{1}{N} )ので、以下が成り立つ。

$ E(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i

上記の式から、期待値 $ E(X)は確率変数 $ X_iの平均値と等しいことが分かる

確率分布

確率分布とは

確率変数に対して、各々の値をとる確率を表したものである

確率密度関数

確率密度関数とは

連続型確率変数がある値をとるという事象の確率密度を記述する関数である